Un couvre-assiette conique

Une classe de première se lance dans un projet de mini-entreprise.
L'objectif est de concevoir, produire et vendre des produits qui incitent à moins gaspiller : les élèves doivent proposer des prototypes de produits.

Léo a imaginé un couvercle évolutif, qui permettrait de conserver des aliments en s'adaptant au contenant (assiette, bol, saladier, etc.). Il présente son projet à la classe.

« Il s'agit d'un disque en silicone, de rayon \(12\) cm. Le disque est coupé le long d'un rayon. En glissant la partie coupée sous le reste du disque, on peut construire un cône à dimensions variables.  

Par exemple, si l'on veut couvrir une assiette, on forme un cône pas très haut avec une grande base, et si l'on veut couvrir une coupelle, on forme un cône plus haut, avec une base plus petite. Un petit clip permet de fixer le cône à la bonne taille. »

Les élèves se posent la question suivante : « Quel serait le volume maximal du cône ainsi construit ? »

Partie A : étude de cas particuliers

1. Calculer le rayon de la base lorsque la hauteur du cône est \(7\) cm.
2. Calculer le rayon de la base lorsque la hauteur du cône est \(8\) cm.
3. Léo dit : « Si l'assiette à couvrir contient du riz, on pourra conserver plus de riz sous un couvercle de hauteur \(7\) cm que sous un couvercle de hauteur \(8\) cm. » Léo a-t-il raison ?

Partie B : conjecture

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représenté le couvre-assiette conique. La hauteur \(h\) du cône peut être choisie à l'aide du curseur affiché.
1. Déplacer le curseur \(h\) et observer comment varie le couvre-assiette.

2. Pour quelle valeur de \(h\) le volume du couvre-assiette semble-t-il maximal ?
3. Quelle semble être la valeur maximale du volume ?

Partie C : démonstration

Léo dit : « La hauteur du cône varie. Si je la note \(x\), alors l'aire de la base est \(\pi(144-x^2)\) et le volume sous le couvercle est \(\dfrac{1}{3}\pi(144x-x^3)\). »
1. Expliquer comment Léo a trouvé cette expression. Pour rappel, le volume d'un cône de rayon \(R\) et hauteur \(h\) est donné par \(V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h\).

Soit \(V\) la fonction qui à tout \(x\) de \([0~;12]\) associe le volume du couvre-assiette de Léo. Ainsi,  \(V(x)=\dfrac{1}{3}\pi(144x-x^3)\).

2. Calculer \(V'(x)\) pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;12]\).
3. Léo dit qu'il peut écrire \(V'(x)=\dfrac{1}{3}\pi(12-\sqrt 3 x)(12+\sqrt 3 x)\). En utilisant cette expression, dresser le tableau de signes de \(V'(x)\) sur \([0~;12]\).

4. En déduire les variations de \(V\) sur l'intervalle \([0~;12]\).

5. Pour quelle valeur de \(x\) le couvre-assiette est-il de volume maximal ?